一道所有老师都看不懂的题，揭示出了“新课改”的指向！

(aυb)υc=(aυb)υc，形式上看起来就像是“结合律”，

这可以启发我们进一步思考。

思考的基本方向如下：

• 人类的“概念”都是怎么来的？

• 以及符号在此过程中到什么作用？

人类的“概念”都是怎么来的？

以及符号在此过程中到什么作用？

——这恰好是哲学、学习科学都关注的，也是王珏老师给老师做培训时必讲的内容（如下图），这也许是我能够轻松理解的原因吧。

上面两点，其实是人类的基本思维方式，

王珏老师在学习科学、深度学习、新课改培训中，

都会根据上图讲解如下内容：

1、概念，是对一类事物的共同特征进行“归纳”和“抽象”而来

对于已知的概念，同样可以进一步归纳和抽象，形成新的概念。

2、概念，必须要借助于语言/文字/符号。

也就是说，新概念必然采用“新符号”。

在上题中，υ是一个“新符号”、也是一个“新概念”

而且从形式上看，它符合“结合率”

——当我们知道在人类思维中

符号是指代概念的

而概念是一类事物共同特征的归纳

自然就会沿着以下路径思考：

什么场景或概念具有“结合律”的“共同特征”

可以把这个特征进一步归纳、抽象为υ呢？

——很容易想到，在小学中加法、乘法都是符合结合率的

因此，我们就可以这样理解：

可以把υ视为加法和乘法的进一步抽象

它指代的是“符合结合率”的运算法则

那么，ψ该如何思考呢？

显然，ψ与υ是两种不同的运算

既然前面我们把加法和乘法归纳、抽象为υ

那么很容易想到，

减法和除法也许就可以归纳、抽象为ψ

——在这种思路下

ψ与υ显然不能等同！

不知道大家是不是想提出这样的问题：

以上思考是否只是为了解题需要的“牵强附会”呢？

No No No！

这是标准的“专家思维”！

任何一个学科中的概念，

都必然由“归纳”而来

为了表述的方便、或研究的需要，

把一类具备共同特征的事物或概念

把其共同特征抽取出来，形成新的“概念”

是所有学科（事实上是人类思维）的共同“玩法”。

比如：所谓“群论”，不就是伽罗华对多项式方程的根的置换对称性的描述而发明的“概念”吗？

如果我们在数学研究中

为了表述的方便、或分类的方便

以υ指代的是“符合结合率”的运算法则

那再正常不过了！

尤其是当我们进一步扩展数学知识时，

符合υ运算的，可不止加法、乘法，

还有集合中的并集、交集

矩阵加减

向量加减

数字电路中的and运算与or运算

——有这么多符合这一特征的运算法则

我们单独给它命个名，

就数学研究本身也非常有价值的！

【角度二】“抽象概念”的还原、具体化

不认识(aυb)υc =(aυb)υc？

如果我们能够把υ理解为

可能是某种运算规律的抽象产物，

那么，我们就可以把它具体化，

比如：“加法”

把υ换成+，这个等式仍然是成立的

同样，当我们把ψ用“减法”来替换时

这个等式就不成立了。

（其它法则无需考虑，因为只要有一个特例不成立，结论就不成立）

【角度三】将符号转换为语言，再运用语言逻辑进行判断

从思维与语言的关系来看

思维是由语言承载的，

因此思维中的逻辑，必然会体现在语言的逻辑上！

我们可以把(aυb)υc =(aυb)υc用语言来表示，即：

运算υ符合“结合率”

那么，(aψb)ψc =(aψb)ψc

就是运算ψ也“结合率”

按照题意，把两句话连起来，就是：

如果某个运算υ符合“结合率”

那么，另一个运算ψ也必然符合“结合率”。

——这显然没有什么逻辑必然性

即便不用逻辑推导的方法

随便举个例子（比如加法和减法）就知道了。

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最后，非常有趣的是：

王珏老师最近一直在研究Kimi

遇到什么问题都丢给它看看答成什么样

——大多数时候效果非常好

当我把这题丢进去时，结果有一些小小的惊喜：

虽然Kimi把υ理解为“并集”的符号

但后面的结论和推理的依据倒是基本正确的！

此外，当我提问“什么运算不符合结合率”时，

更大的惊喜来了：

Kimi居然自己“编”了一个符号⊕

来表示“符合结合率”的运算符

这简直和题目中的符号υ异曲同工！

——顺便说一句，还不知道Kimi、遇到文字/文档相关问题还不习惯于问Kimi的，当心！你也许很快被淘汰哦！

赶紧来看王珏老师的系列AIGC文章：

• 《#ai 王珏老师AIGC教育应用文章集锦 》

《#ai 王珏老师AIGC教育应用文章集锦 》

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小学六年级的这道题

不仅小学生不会

连小学数学老师、甚至数学博士

都摸不着头脑，说明了什么？

它说明了新课改中所强调的

“大观念/big idea”、“专家思维方式”

正逐步通过考试、评价的方式体现出来

它还说明了课本中所写的、老师所教的、学生所学的

都只不过是规定好的“学科事实”

（正如加德纳所言）

然后我们用这些学科事实，

用来训练学生的解题能力！

至于知识是怎么来的、为什么要写成今天这样

——简单来说，就是“知识是如何被创造出来的”

这些知识的本质、深层思维方式

即便是现在的老师、甚至博士，

也从来没有被教授过！

但是，真正的“深度理解”

是需要学习者能在思维中“自行创造出知识”

至少要“复演知识创造的过程”！

正如诺奖得主、世界级名师费曼所说的那样：

• 我不能自己创造出来的知识，我就没有理解！

我不能自己创造出来的知识，我就没有理解！

从这一意义来说，咱们绝大多数人（包括我自己）

都只不过是用“学科事实”来训练解题技能的“解题机器”！

根本谈不上什么“深度理解”！

而想要“创造”、哪怕是“复演创造过程”，当然不易！

面对这样的新课改精神，

老师们该怎么办呢？

对于老师来说，

需要更深入地研究学科发展史

研究专家权威的思想历程

（正如丘成桐所言）

还要弄清知识的一切“来龙去脉”

以及背后的思想根源与“底层逻辑”！

中科院物理所的曹则贤教授

花了半生的精力，

专门对物理学/数学的知识与学科思想的发展进行了深入研究

方才“补齐”了知识如何被创造出来的逻辑部分！

结果，在补齐这些“知识创造过程”的过程中，

曹则贤教授指出了相当多当前知识的谬误：

以上费曼、丘成桐、曹则贤（其实还有爱因斯坦）

都指向了这一观点：

• 不知道知识是如何被创造出来的，就不可能真正理解它！

不知道知识是如何被创造出来的，就不可能真正理解它！

——从老师、到学生

都急需补上这一课！

关于“人是如何思维的”、“如何建立深度理解”，王珏老师在《深度学习理论与教学设计模型》课程中有详细解读。欲将本课程引入本单位，欢迎到本公众号首页输入“深度学习培训”了解联系方式。

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