2024中考数学复习 | 几何模型汇总：常考16种模型及例题

【一】角平分线的五种模型

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，求∠D的度数.

解：∵∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，

∴∠DCE=∠DCA，∠CBD=∠ABD，

∴∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠DCE+∠DCA=∠CBD+∠ABD+∠A，

∴2∠DCE=2∠CBD+∠A，

∴∠DCE=∠CBD+∠D，

∴∠D=1/2∠A=1/2×30°=15°

【二】单中点与双中点模型

如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.

解：如图，连接CF.

∵AC＝CE，F为AE的中点，

∴CF⊥AE，

∴∠AFD＋∠DFC＝90º，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，

在Rt△ABE中，

∵F为AE的中点，

∴BF＝AF，

∴∠FBA＝∠FAB，

∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，

又∵AD＝BC，FA＝FB，

∴△FBC≌△FAD，

∴∠AFD＝∠BFC，

∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，

∴BF⊥FD.

【四】半角模型与倍角模型

如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD’，当∠DAE=45°时，求证：DE=D’E；在（1）的条件下，猜想：BD²，DE²，CE²有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.

解：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’

∴AD=AD’，∠DAD’=∠BAC=90°

∵∠DAE=45°，

∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°

∴在△AED和△ACD’△中，

AE=AE，∠EAD=∠AED’，AD=AD’

∴△AED≌△AED’，

∴DE=D’E

由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’

在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°

∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’，

∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°

∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°

【五】一线三垂直模型

在平面直角坐标系中，A（0,5），B（-1,0）点C在第一象限，∠BAC=90°，AB=AC

（1）如图1，求点C的坐标．

解：如图1中，作CM⊥OA垂足为M，

∵∠AOB=∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAM=90°，

∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠CAM，

在△ABO和△CAM中，

∠ABO=∠CAM，∠ABO和∠AMC，AB=AC，

∴△ABO≌△CAM

∴MC=AO=5，AM=BO=1，MO=AO-AM=4，

∴点C坐标（5,4）；

（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：BD=2CE

解：如图2，延长CE，BA相交于点F，

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠EBF=∠ACF，

在△ABD和△ACF中，

∠EBF=∠ACF，AB=AC，

∠BAC=∠CAF，

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

在△BCE和△BFE中，

∠EBF=∠EBC，BE=BE，∠CEB=∠FEB，

∴△BCE≌△BFE（ASA）∴CE=EF

∴BD=2CE

（3）若点P在第二象限，且△PAB为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

P（-5,6）或P（-6,1）或P（-3,3）

【六】全等三角形的五种模型

如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE＝1，求正方形的边长．

解：连接AC、AE，延长C′B′交AC于点F，过点F作GF⊥DC于G，由题意得，

AD=AB′,

∠D=∠AB′E，

∠B′AB=60°,

∠CAB=∠GCB′=45°，

∴∠DAB′=30°，∠CAB′=15°

在RT△ADE与RT△AB′E中AD=AB′，AE=AE，

∴RT△ADE≌RT△AB′E（HL），

∴∠DAE=∠B′AE=1/2∠DAB′=15°，DE=EB′=1，

∴∠B′AE=∠CAB′在△AB′E和△AB′F中

∠B′AE=∠CAB′，AB′=AB′，∠EB′A=∠FB′A，

∴△AB′E≌△AB′F（ASA），∴EB′=BF=1

∵∠DEB′=360°-∠D-∠EB′A-∠DAB′=150°，

∴∠GEF=30°

在RT△EGF中，

EG=EF×cos∠GEF=2×√3/2=√3，

DF=EF×sin∠GEF=2×1/2=1

在△CGF中，∠GCF=45°，∴CG=GF=1，

∴DC=DE+EG+GC=2+√3

所以正方形的边长为2+√3

【八】几何图形的平移变换

如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝90º，AB＝6，BC＝8，BE＝2，DH＝1.5，则阴影部分的面积为10.5.

【解析】∵△ABC沿BC方向平移得到△AEF，

∴DE＝AB＝6，

∵DH＝1.5，

∴HE＝DE－DH＝6－1.5＝4.5，

∵∠B＝90º，

∴四边形ABEH是梯形，

S阴影＝S△DEF－S△CEH＝S△ABC－S△CEH＝S梯形ABEH

∴S阴影＝1/2（AB+HE）▪BE=1/2▪（6+4.5）▪2=10.5

【九】几何图形的旋转变换

已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，D是线段AB上一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90º得到线段CE，连结DE，BE.

（1）依题意补全图形；

解：如图所示：

（2）若∠ACD＝α，用含α的代数式表示∠DEB；

解：∵将线段CD绕点C逆时针旋转90º得到线段CE，

∴∠DCE＝90º，CD＝CE，

∵∠ACB＝90º，∴∠ACD＝∠BCE＝α，

在△ACD和△BCE中，

AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A，

∵∠ACB＝90º，AC＝BC，

∴∠A＝45º，∴∠CBE＝45º，

∵∠DCE＝90º，CD＝CE，∴∠CED＝45º，

在△BCE中，∠BCE＝∠ACD＝α，

∴∠DEB＝180º－α－45º－45º＝90º－α；

（3）若△ACD的外心在三角形的内部，请直接写出的取值范围.

解：∵△ACD的外心在三角形的内部，

∴△ACD是锐角三角形，

∴∠ACD＜90º，∠ADC＜90º，

又∵∠A＝45º，∴∠ACD＞45º，

∴45º＜α＜90º.

【十二】动点最值之费马点模型

如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，求MA+MD+ME的最小值.．

解：依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值4+3√3．

【十四】动点最值之胡不归模型

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+√3/2PD的最小值等于多少．

解：已知∠A=60°，且sin60°=√3/2，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，

即可得PH=√3/2PD，

∴PB+√3/2PD=PB+PH．

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

【十六】动点最值之瓜豆模型

如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

Q点轨迹是一个圆

理由：∵AP⊥AQ，

∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

又∵AP：AQ=2：1，

∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

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